ADQUIRIENDO INTUICIÓN PARA LOS LÍMITES

          “Si consideramos las matemáticas desde el comienzo del mundo hasta el tiempo en que Newton vivió, lo que él hizo fue con mucho la mitad mejor.”-Leibniz.

         

El concepto de “Límite de una función” es una de las ideas fundamentales que distinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el álgebra o la geometría. Sin embargo, la noción de límite no se llega a dominar fácilmente. En efecto, con frecuencia es necesario para el principiante estudiar la definición muchas veces, antes de que su significado se aclare. Sin embargo a pesar de lo complejo de la definición, es fácil adquirir intuición para los límites. Por ejemplo, los deportistas de alto rendimiento constantemente están mejorando sus marcas, pero… ¿Esto puede suceder indefinidamente? Evidentemente no. ¿Por qué?

En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) de una función f cuando x está muy cerca de un número a, pero no necesariamente igual a “a”. De hecho, en muchos casos el número a no está en el dominio de f, es decir f(a) no está definido. Vagamente hablando, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Si x se acerca más y más a “a” f(x) se acerca también cada vez más a algún número L? Si la respuesta es sí decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a “a”, es igual a L, y escribimos.

                                                   Lím f(x)=L

                                                    x®a

          Cálculo con geometría analítica  -Swokowski  pág. 50

       El cálculo es diferente a las matemáticas que has estudiado hasta ahora, porque es menos estático y más dinámico. Se interesa en el cambio y en el movimiento; trata con cantidades que se aproximan a otras cantidades y que se llaman límites.

       Revisemos como surgen los límites cuando intentamos resolver diversos problemas:

       ¿Puedes encontrar el resultado de la siguiente suma?

       1/2+1/4+1/8+1/16+…+1/2ⁿ+…= ¿?

       En el siglo V a.C. Zenón de Elea propuso algunos problemas conocidos ahora como las paradojas de Zenón, que desafiaban algunas de las ideas referentes al espacio y al tiempo que se sostenían en sus días. Una de ellas se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado una ventaja inicial. Zenón argumentaba que Aquiles nunca podría rebasarla, porque cuando Aquiles llega a la posición inicial de la tortuga (t₁), la tortuga se encuentra ya más adelante en la posición (t₂), cuando Aquiles llega a (t₂) la tortuga está en (t₃). Este proceso continúa indefinidamente y, de este modo, ¡Parece que la tortuga siempre estará adelante! Pero tú sabes que eso no es posible. ¿Puedes intentar una explicación?

        Los panamericanos están a la vuelta de la esquina ¿Usain Bolt mejorará sus marcas o ya llegó a su límite?

          En este curso yo haré mi mejor esfuerzo, espero que tú también… A propósito ¿La paciencia también tiene un límite? 

¡HOLA JÓVENES!... SERÉ SU PROFESOR DE MATEMÁGICAS EN ESTE CURSO. ¡BIENVENIDOS!

La habilidad matemática es uno de los aspectos más descuidados en su formación, por la aversión que a veces llegan a desarrollar hacia está disciplina que encuentran poco atractiva y que no se debe a la asignatura en sí, sino a las experiencias vividas en estas clases, como: malas prácticas docentes. Laura, una de mis ex alumnas me dijo “desde la secundaria se me empezaron a dificultar, la maestra me regañaba, ahora las matemáticas me estresan y la materia es seriada, me da pánico arrastrar la materia y no certificar por ella”; o, desinterés de ustedes por desarrollar esta habilidad, porque requiere el abandono de vicios muy arraigados como “la copia”, “el ahí se va”,  y que no se erradicarán solos, porque valores tales como la responsabilidad, la honestidad, la disciplina, los buenos hábitos, se adquieren y se fomentan desde la familia y deben contribuir a su consolidación: la sociedad, los medios y la escuela. Sin embargo, hay que revertir este proceso porque las matemáticas ayudan a explicar algunos aspectos de la realidad y es fundamental para su formación, tanto para su ingreso a la educación superior como para su inserción en el mercado de trabajo.

En la actualidad, la sociedad del conocimiento  se caracteriza, por la cantidad de información que constantemente aumenta y está disponible en diversos medios. Los estudiantes eficaces deberán ser capaces no tanto de almacenar los conocimientos sino de saber dónde y cómo buscarlos y procesarlos.

Intentaré que abandonen la práctica mecánica, la memorización de reglas y fórmulas, los cálculos fuera de contexto y buscaré promover el aprendizaje basado en problemas la reflexión, la estimación, la generalización, el trabajo colaborativo, la comprensión lectora, el análisis crítico, con la aplicación de las tecnologías de la información y de la comunicación (TIC) a su alcance. Las TIC han sido desarrolladas para resolver una gran variedad de problemas y pretendo que las aprovechen como recursos de investigación, y exploración, como herramientas en el modelado y análisis de problemas y las apliquen en la elaboración de sus productos. Por eso iniciaremos el curso desarrollando la siguiente WebQuest

http://phpwebquest.org/newphp/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=43121&id_pagina=1

PARA LOS QUE SE VAN DE LA PREPA FEDERAL Y DEL BACHILLERATO "SIMÓN BOLÍVAR"

Un hombre sin estudios es un ser incompleto.

El arte de vencer se aprende en las derrotas.

La constancia ha triunfado siempre.

JÓVENES GRADUADOS

Como ven he seleccionado este medio para dirigirme por última vez a  ustedes y sin falsa modestia ensayé varios textos:

Una despedida… no, porque las despedidas son tristes. Un sermón…  tampoco, ya les largué muchos.

Plantear la última ecuación… ó como siempre: la costumbre y la pretensión, ¿porqué no la última lección? Pero, en un área tan complicada como la enseñanza, donde la verdadera ciencia no lleva aún a nada, tenemos que confiarnos a una sabiduría tradicional de un elemental sentido común. Sólo estamos ciertos como dice Aguilar Camín de  que: “la fuerza que mueve y transforma al mundo no es la de las máquinas, la de las armas, ni la del dinero, sino la fuerza del conocimiento”.

Entonces, en lugar de la última lección, ¿Por qué no la última cuestión? la que tiene que ver con esa inquietud que casi siempre tenemos los que tratamos con personas.

¿Fuimos buenos guías?

¿Predicamos con el ejemplo?

¿Los enseñamos a ser libres, críticos, justos?

Nuestras responsabilidades como profesores son tan complejas y frecuentemente tan contradictorias, las exigencias tan ineludibles y los riesgos de fallar tan grandes, que uno debe considerarlo seriamente antes de dedicarse a este trabajo, que encierra grandes probabilidades de fracaso y de desilusión.

Nosotros –los que creemos en ustedes- tenemos virtudes y defectos, lo importante es que estén conscientes de esto, para que nada los tome desprevenidos y no sufran desengaños; pero sobre todo, para que también aprendan de nuestros errores. Sus padres, mis compañeros y yo, no dudamos que en ustedes y a pesar de nuestras equivocaciones, las luces superarán a las sombras.

Esperamos que exploten todas sus inteligencias, recuerden que detrás de cada triunfo está la motivación que constituye su cimiento: el mismo esfuerzo puede nacer del miedo y la coacción, del deseo ambicioso de autoridad y honores; o de un interés genuino y un deseo de verdad y comprensión.

¡Qué sea está última motivación la que determine siempre sus esfuerzos!         

Quiero concluir mi mensaje contándoles una historia -al parecer de Jorge Bucay-.

Trata de un joven que acudió a un sabio en busca de ayuda:

“—Vengo, maestro, porque me siento tan poca cosa que no tengo fuerzas para hacer nada. Me dicen que no sirvo, que no hago nada bien, que soy torpe y bastante tonto. ¿Cómo puedo mejorar? ¿Qué puedo hacer para que me valoren más?

El maestro se quitó un anillo que llevaba en el dedo pequeño y dándoselo al muchacho agregó:

—Toma el caballo que está allá afuera y cabalga hasta el mercado.

Debo vender este anillo porque tengo que pagar una deuda.
Es necesario que obtengas por él la mayor suma posible, pero no aceptes menos de una moneda de oro. Ve y regresa con esa moneda lo más rápido que puedas.

Luego de ofrecer la joya a toda persona que se cruzaba en su camino y abatido por su fracaso regresó.

—Maestro lo siento, no pude conseguir lo que me pediste. Quizás pudiera obtener dos o tres monedas de plata, pero no creo que yo pueda engañar a nadie respecto del verdadero valor del anillo.

—Qué importante lo que dijiste joven amigo -contestó sonriente el maestro- Debemos saber primero el verdadero valor del anillo. Vuelve a montar y vete al joyero. ¿Quién mejor que él para saberlo? Dile que quiero vender el anillo y pregúntale cuánto te da por él. Pero no importa lo que ofrezca, no se lo vendas. Vuelve aquí con mi anillo. El joven volvió a cabalgar. El joyero examinó el anillo, lo pesó y luego le dijo:

—Dile al maestro, muchacho, que si lo quiere vender ya, no puedo darle más de 58 monedas de oro por su anillo.

— ¡58 MONEDAS! -exclamó el joven-

—Sí, -replicó el joyero- Yo sé que con el tiempo podríamos obtener por él cerca de 70 monedas. Pero no sé...si la venta es urgente...

El joven corrió emocionado a la casa del maestro a contarle lo sucedido.

—Siéntate -dijo el maestro después de escucharlo-. Tú eres como ese anillo: una joya, valiosa y única. Y como tal, sólo puede evaluarte verdaderamente un experto. ¿Qué haces por la vida pretendiendo que cualquiera descubra tu verdadero valor?

Y diciendo esto, volvió a ponerse el anillo en el dedo pequeño”.

JÓVENES: —Todos somos como esta joya, valiosos y únicos y andamos por la vida pretendiendo que gente inexperta nos valore. 

SIEMPRE RECUERDEN LO MUCHO QUE USTEDES VALEN, AUNQUE QUIZAS, ALGUNAS PERSONAS A SU ALREDEDOR NO LO DESCUBRAN O NO SE LOS DEMUESTREN. ESTE MENSAJE ES MI RECONOCIMIENTO A TODOS Y CADA UNO DE USTEDES.

RECUERDEN: “Nadie tiene el derecho de hacerlos sentir inferiores”

-Que terminar la prepa o el bachillerato sea sólo la culminación de una etapa y el inicio de otra superior. Vayan a la universidad por conocimientos, no por calificaciones. No menosprecien y olviden a los que no tuvieron o no tienen la oportunidad de educarse, sólo porque tienen que trabajar para sobrevivir. Sean sencillos, honrados, honestos, auténticos, integrales, diferenciales… Ah, no, ¡esto ya no!

            Yo quiero estar siempre ¡Orgulloso de ustedes!

            ¡Éxito y felicidades!

MI CONFRONTACIÓN CON LA DOCENCIA

Supongo que con la edad le he ido perdiendo el lado romántico a la docencia y puedo abordarla de manera más realista.
Me hice profesor normalista por necesidad. Mi padre –campesino y albañil-  no podía costearme la carrera universitaria que me gustaba. Tengo ocho hermanos. Me mandaron a trabajar a la sierra, donde perdí un año, (mis alumnos no hablaban español y yo no entendía el náhuatl –cosas del sistema-) pero desarrollé mi afición a la lectura. En verano estudié la normal superior en la especialidad de matemáticas y cuando me cambiaron (de la sierra al valle de Tehuacán), pude trabajar y estudiar –el bachillerato y luego ingeniería civil- siempre con la idea de enseñar matemáticas en secundaria o bachillerato. Estudiando el bachillerato tuve mi primer desencanto, aprendí más matemáticas que en la normal superior.

Me casé y le decía a mi esposa –que también es profesora- cuando por fin conseguí dar clases de matemáticas en bachillerato, que me gustaba tanto lo que hacía, que lo haría aunque no me pagaran (no puedo poner aquí lo que me dijo). Para conseguirlo, ya había cometido el error de abandonar mi plaza, pues como dijo Garizurieta: “vivir fuera del presupuesto, es vivir en el error”. Desde entonces voy de la “seca a la meca” trabajando todo el día para: ¿vivir mejor?

Soy normalista e ingeniero y con casi treinta años en la docencia puedo afirmar que en la mayoría de los talleres a los que he asistido, los profesores normalistas acusan a los profesionistas profesores de no ser maestros de humanidad; de dominar los conocimientos, pero de no adaptarlos al nivel de los alumnos, –y aunque en algunos casos es verdad- yo callo, porque la mayoría de mis compañeros en las escuelas donde trabajo, no son docentes de formación; sin embargo, en la docencia, como en cualquier otra disciplina, es la práctica y no la teoría la que hace al maestro y, no es que la teoría sea mala; pero, mientras no haya la voluntad de aplicarla no pasarán de ser prácticas declaradas.

Ahora se está implementando en nuestro país, una nueva reforma. La Reforma Integral de la Educación Media Superior, que tiene entre sus pilares la “profesionalización de los servicios docentes”, y comprende un programa de desarrollo docente, por lo que ahora estoy cursando “en línea” la especialidad en “competencias docentes” que busca modificar mi labor de mediación con mis alumnos, para que consiga desarrollar sus competencias para la vida.

Soy sobreviviente a varias reformas, pero es la primera en la que estoy recibiendo una capacitación seria, conociéndola primero, contrastando las prácticas tradicionales con lo que se espera que modifique de ellas, aplicando las nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación, con un nuevo modelo de planeación por competencias, que comprende entrecruzamientos y articulaciones curriculares, diseñando un nuevo modelo de evaluación que se espera sea auténtica, y culminando con una propuesta de intervención.

Desde siempre hemos tenido que cumplir con los requisitos administrativos de dosificación y planeación, pero como la planeación convenientemente es flexible, el tiempo limitado, los grupos numerosos, los recursos escasos, tenemos la justificación perfecta para terminar haciendo lo que siempre hemos hecho y porque además podemos argumentar que apenas estamos recibiendo la capacitación, a la que no le entramos todos por la resistencia natural a modificar nuestros paradigmas.

Aunque tengo mis reservas con respecto a la aplicación de la Reforma -sólo hay que ver lo que pasó con “enciclomedia”- no estoy amargado, sólo me parece injusto que los medios de comunicación y los padres de familia nos culpen de casi todo: los malos resultados en las evaluaciones nacionales e internacionales y ahora hasta de la obesidad ¿Y ellos? ¿Qué hacen?

 Uno de mis profesores en la Maestría en Educación –que recientemente cursé- sostiene que la reforma también tiene el propósito de desanimar a los viejitos que no se quieren actualizar; pero aquí estoy, robándole horas al sueño y peleando todavía por hacer lo que me gusta, aunque me asalten las dudas de ¿En qué proyecto o con que problema les hago a mis alumnos significativas “las cónicas”?

LOS SABERES DE MIS ESTUDIANTES EN EL USO DE LAS TIC Y DE INTERNET

No necesito enseñar a mis estudiantes a usar el internet, porque ya lo saben, la mayoría empezó a usarlo desde la primaria y con mayor frecuencia en la secundaria aunque lo utilizan principalmente como fuente de entretenimiento, para descargar música, videos y juegos en línea, los jóvenes de bachillerato lo utilizan cada vez más como medio de interacción social para chatear, consultar el correo y para ingresar fotos y videos.

Sin embargo, es necesario enseñarles a sacar provecho de esta herramienta para su formación, porque la prueba PISA 2009 muestra que los alumnos han mejorado en la búsqueda de la información, pero comparativamente han perdido capacidad de análisis. Aprenden a buscar acceden y recuperan información pertinente, pero tienen dificultad para integrarla e interpretarla, porque domina el COPY-PASTE y el trabajo del profesor debe ser más complejo primero para interesarlos y luego para mejorar el aprendizaje.

Internet conecta bibliotecas, escuelas, museos, empresas, pero también sitios con información imprecisa o con tendencias políticas, religiosas y de otros tipos y debemos aprender a discriminar entre las fuentes que cumplen con los protocolos para validar su información de los que no.

Como profesor sé que tiene muchas posibilidades pedagógicas, he descubierto las WebQuest, se han desarrollado plataformas especializadas en matemáticas como la “Descartes”, o los sitios de la “olimpiada de matemáticas”, programas como el de “Cabri geometre” o la “calculadora graficadora” de la enciclopedia Encarta de Microsoft, por citar sólo algunos de los que utilizo para el modelado, visualización y análisis en mis clases.

La estrategia que ya desarrollo con mis alumnos es que: los que ya saben usar las herramientas tecnológicas que aplicamos en las clases, enseñan y explican a los que no saben o desconocen algunos de los recursos que se pueden aprovechar de estas herramientas, por ejemplo cuestiones como: elegir las ventanas de visualización, seleccionar los modos adecuados, las herramientas de análisis, etc. y lo haré extensivo en el uso de internet, planteando investigaciones con preguntas guía que se comentarán en clase para obligarlos a analizar la información, sugiriendo sitios confiables o pidiendo que citen sus referencias para evitar la práctica común de cortar y pegar. Mientras ubico en la red WebQuest con temas de las asignaturas que imparto o mientras aprendo a diseñar las propias.

INTEGRÁNDOME A LA WEB 2.0

Hola, soy Patricio Luna Ramales, oriundo de la Mixteca Poblana, me dedico a la docencia en la Preparatoria Federal "Gilberto Martínez G." y en el Bachillerato Universitario "Simón Bolívar" de Tehuacán, Puebla y espero compartir en este espacio mis reflexiones e inquietudes sobre esta actividad tan devaluada últimamente.